Игра в кости

[palindromer]

Читая Кнута, решай задачи и сочиняй свои, иначе такое чтение будет пустою забавою.

Пришла в голову сегодня простая но небезынтересная задача. Открылось казино, где можно сыграть в кости таким образом: крупье бросает кубик, потом бросает его же еще раз, в результате есть пара чисел - количество выпавших очков. Порядок важен, поэтому "два и три очка" отличаются от "три и два". Игрок может сделать ставку на пару чисел и получить в случае выигрыша 36 рублей на один поставленный. Можно в каждый ход ставить не на одну пару, а на несколько, заплатив по рублю за каждый вариант, получить опять 36 рублей если выпавшая пара будет в числе объявленных.

Если кубик симметричный, то есть выпадение каждой грани равновероятно (1/6), тогда играя достаточно долго игрок будет всегда оставаться при своих. Играя одну пару, игрок имеет шанс угадать 1/36, а выигрыш как раз 36 рублей. При игре в две пары, вероятность отгадать увеличивается вдвое, только и награда уже 36 рублей за два поставленных. Раз на раз не приходится, конечно, но на длинных сериях прибыль игрока всегда будет болтаться где-то около нуля, зато и проигрыш там же. В конце концов можно каждый ход объявлять все 36 возможных пар [1,1] [1,2] [1,3] ... [6,5] [6,6] и гарантированно получать свои 36 рублей выигрыша за 36 рублей ставки.

Допустим, игроку говорят, что кубик слегка кривой и вероятность выпадения некоторых граней больше, а некоторых меньше. Игрок никак не может заранее узнать каких именно и насколько. Ему предлагают сыграть по следующим правилам: игрок должен объявить сколько вариантов он играет и назвать какие именно. После этого крупье начинает бросать кубик. В процессе игры нельзя изменить свой выбор, невозможно понаблюдать за игрой перед тем как сделать ставку. Игрок должен сразу назвать свои варианты и потом может только смотреть. Но играть он может сколь угодно долго, в том числе в минус, то есть в долг. Также он волен прервать игру в любой момент.

Есть ли у игрока стратегия, чтобы уйти из казино с гарантированным существенным выигрышем? Если есть, то какая? Если нет, то почему?

Comments

[woodenfriend.livejournal.com]

как-то по ощущениям представляется, что если вероятность выпадения неизвестной грани больше, то больше вероятность выпадения её два раза подряд. то есть если известно что такая грань(и) существует, то имеет смысл ставить на все пары - 11 22 33 44 55 66. в норме вероятность попадания в эту серию 1/6, а у смещённого кубика она может отличаться, причём подозреваю, что в выгодную сторону.

пример. для гипотетического двухгранного кубика p1 + p2 = 1, а вероятность выпадения пары одинаковых граней будет p1^2 + p2^2. это даёт параболу, дающую 0.5 при равных p1 и p2, и 1 при стремлении одной из вероятностей к нулю. то есть при любых отклонениях от равномерности, стратегия 11 22 для такого кубика будет выигрышной. возможно это справедливо и для многогранного кубика.

[nameless--one.livejournal.com]

О! Вот этот момент я упустил. Что одна и та же грань в двух бросках будет вести себя одинаково. Это снижает число вариантов.

[palindromer.livejournal.com]

да, как-то так.